ez itt minek?

Ha csak ezt az oldaldobozt látod, akkor egy olyan sablont választottál, amiben csak balhasáb van, az oldaldobozaid viszont alapértelmezésben a jobbhasábba kerülnek. Menj be az Oldaldobozszerkesztőbe (Megjelenítés / Oldaldobozok), és kattints a Hasábcsere gombra!

csittcsatt


[ Copy this | Start New | Full Size ]

utolsó kommentek

  • Frady Endre: @tomii: A focimeccset is élőben jó közvetíteni, mert másnapra már uncsi, hiszen tudom a végeredmén... (2012.11.29. 10:13) adásposzt / november 27.
  • rami19980402: vagyis 97-es! (2011.08.10. 12:03) 200 írás / update
  • rami19980402: a régi 1992-es 200ft-os pénzérmének mennyi az értéke kb.?? választ szeretnek minél elöbb!! köszönö... (2011.08.10. 12:01) 200 írás / update
  • ColT: Nem láttam még a filmet, szerintem ez is kimarad az életemből... ...de mibe fogadjuk, hogy az jön... (2011.05.31. 13:54) A világ vége
  • Amigarockwell: Nem szokásom kommentelni, de nehogy má!!! Az a baj, hogy semmit nem tudsz a Carmen zenéjéről! Mégh... (2010.06.11. 17:27) Kismalac, kismalac engedj be...
  • Utolsó 20

Egy szép geometriai feladvány / a megoldás

2009.02.01. 16:37 tomii

A geometriai feladatot tartalmazó poszt eddig soha nem tapasztalt látogatottságot és aktivitást eredményezett. Férfiak és asszonyok hanyagolták el napokra családjaikat, munkájukat. Papír fölé hajolva szitkozódtak Indiában, Új-Zélandon, az USA-ban és persze Magyarország számtalan háztartásában. Ebből bizonyára levonhatnánk fontos következtetéseket, de most inkább lássuk, mire jutottatok kilenc nap alatt, és aztán nézzük át közösen a megoldást is. Mert... tadaaaa!!!... ma megszületett az első, kizárólag elemi geometriai eszközökkel történő bizonyítás!
Fazekas Egon küldte Székesfehérvárról. 


A feladatot nem ismétlem el, aki nem ismeri, az nézze meg a kiírást tartalmazó posztban

Viszonylag gyorsan érkeztek szögfüggvényeket használó megoldások. Volt köztük indokolatlanul elbonyolított is, de a beküldők többsége felismerte, hogy a nagy háromszögben található további egyenlőszárú háromszögek segítségével, a szinusz- illetve koszinusztételt megfelelő ritmusban használva, egyszerűen elérhetünk a végéig. (Ez még nekem is sikerült.) De a szive mélyén mindenki érezte, hogy nem ez lesz az az út, aminek a végén ott a kréta, amivel felírhatják majd a nevüket a dicsőségtáblára. Súgta ott bent valami, hogy léteznie kell egy tisztán elemi geometriai eszközökkel operáló megoldásnak is. És tényleg. 

Sok (nagyon sok!) megoldás érkezett, de ezekről sorra kiderült, hogy vagy téves feltevésen alapulnak, vagy olyasmit kezeltek tényként, aminek az igazolása hiányzott a levezetésből. Dolgoztam eleget a cáfolatokon, de nem az időt sajnáltam, hanem azt, hogy az istennek sem akar megszületni a megoldás. Aztán ma délután 4 óra előtt néhány perccel megérkezett Egon emailje! 

A levezetés, amit küldött elég szűkszavú, és az egyik lépés nem is annyira van igazolva, mint kéne, de az alapötlet kiváló és nélkülözhetetlen. Most tehát következzen - az én kiegészítéseimmel, de Egon leírását követve - az a megoldás, ami a gombapresszó geometriai versenyének győztese lett.

A CF szakaszt tükrözzük az ABC háromszög szimmetriatengelyére, két végpontjukat összekötve kapjuk az EF szakaszt (mely természetesen párhuzamos a CB szakasszal), metszéspontjukat a D ponttal összekötve pedig a DG szakaszt.

Könnyen belátható, hogy a CBG háromszög szabályos háromszög, a DCB háromszög pedig egyenlőszárú. Tehát
CB=CG és CB=CD , így aztán CG=CD. A DCG háromszög tehát egyenlőszárú. 

Az EFG háromszög is szabályos háromszög, szögei 60 fokosak. Az AEF, a CDG és a CGD szögek egytől-egyig 80 fokosak. Ezekből kiszámolható, hogy a DEG és a DGE szögek 40 fokosak. 

Minthogy az EDG háromszög egyenlőszárú, az EGF pedig szabályos háromszög, így a belőlük álló EDGF négyszög deltoid. Ezen deltoid DF átlója egyben a szimmetriatengelye is, így felezi az EFG szöget. Tehát a DFG szög 30 fokos, amiből az is adódik, hogy a keresett BDF szög 80 fokos.

És kész.

Szép és elegáns megoldás. Érdemes volt rá várni. Jár érte a dicsőség, mindannyiunk megbecsülése és természetesen az értékes tárgynyeremény is, amit Tibi ajánlott fel a győztesnek.


Most, hogy van saját megfejtőnk és megfejtésünk is, már nyugodt szívvel teszem közzé azt a megoldást, ami versenyen kívül jutott el hozzám és ami nem kevésbé szemet gyönyörködtető, mint Egoné.

Húzzunk egy egyenest a C pontból 20 fokos szögben, a szárral való metszéspontja legyen F. Kössük össze az F pontot D ponttal.

A CBF háromszög egyenlőszárú, tehát FC=BC. 
A DCB háromszög is egyenlőszárú, így aztán BC=DC.
Ezekböl következően FC=DC, és minthogy a közrezárt szög 60 fok, így a CFD háromszög szabályos háromszög.

Az ECF szög és a CEF szög is 40 fokos, így az ECF háromszög is egyenlőszáró, tehát FC=EF.

Van tehát három szakaszunk, melyek egyelők: 
FC=FD=FE. Így rajzolható egy F középpontú, CF sugarú kör, melyen a C, D E pontok is rajta lesznek. Ebben a körben a CD szakasz egy húr, melyhez tartozik egy középponti szög, a CFD szög, és egy kerületi szög, a DEC szög. Márpedig az jól tudjuk, hogy egy húrhoz tartozó keróleti szög minden esetben épp a fele az ugyanazon húrhoz tartozó középponti szögnek. Tehát a DEC szög 30 fokos. Ebből kiszámolva a BDE szög 80 fokos.

És megint készen vagyunk. 

Mindkét megoldás rövid, egyszerű és nem igényel magasabb fokú matematikai tudást, mint amivel egy első osztályos gimnazista rendelkezik. 




Végül említsünk meg néhány nevet azok közül, akik vagy helyes szögfüggvényes megoldást küldtek, vagy egy majdnem helyes elemi geometriait. Mikoláj, Hollo, Bertók Zsófia, Mátyus Gergely, Sörös Zoltán, Katulin Péter, Pepe és Nagy Tibor. Nekik és természetesen a többieknek is köszönjük a részvételt. Most már mindenki visszatérhet a családjához, munkatársaihoz. Egészen a következő feladványig.

12 komment

Címkék: tudomány feladvány

A bejegyzés trackback címe:

https://gombapresszo.blog.hu/api/trackback/id/tr35916299

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

wice 2009.02.02. 08:06:18

variaciok ugyanerre a temara:
www.cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/index.shtml

illetve az eredeti problemara egy flashes animacio:
agutie.homestead.com/FiLEs/LangleyProblem.html

erdekes, amit itt irnak: "The famous Langley problem is a type of problem called "Adventitious Angles" problem because it is a matter of chance that we will be able to solve this problem. It appears to be an easy problem, but it is deceivingly difficult."

szoval pusztan szerencse kerdese, h sikerul-e megoldani a problemat. persze ha mar tudja az ember, h milyen vonalon erdemes gondolkodni az ilyen jellegu feladatoknal (egyenloszaru ill egyenlo oldalu haromszogek alkotasa), akkor az eselyei drasztikusan novekednek.

tomii 2009.02.02. 16:41:01

A híres Langley probléma. Még neve is van. Ez szép.
De ki az a Langley?

Az Időmilliomos Apuka · http://apuka.qqriq.com 2009.02.02. 18:29:34

Langley, E. M. "Problem 644." Mathematical Gazette, 11: 173, 1922.

Az Időmilliomos Apuka · http://apuka.qqriq.com 2009.02.02. 18:42:11

Egon, gratulálok a megoldáshoz!

Általános iskolában együtt ültünk a leghátsó padban, azóta egy kontinens választ el bennünket, de a Gombapresszó gravitációja idevonzott bennünket. Döbbenet!

F.Egon · http://kozossegek.inda.hu 2009.02.02. 19:09:53

Köszönöm "Időmilliomos Apuka".
Igazából a tavalyi osztálytalálkozó képeit szerettem volna megtekinteni a honlapodon.
Aztán itt kötöttem ki.

tomii 2009.02.03. 08:56:29

A gombapresszó ahol tud, segít.

F.Egon · http://kozossegek.inda.hu 2009.02.04. 06:19:47

Mi volt a díj, ha szabadna érdeklődnöm?

tomii 2009.02.04. 09:24:01

Elsősorban természetesen a dicsőség és a többi versenyzőből feléd irányuló tisztelet. Ha ez nem lenne elég, akkor ott van a tárgynyeremény, amit Tibi ajánlott fel. Szólok majd neki, hogy tudjon róla.

F.Egon · http://kozossegek.inda.hu 2009.02.04. 10:49:04

@tomii: Köszönöm, természetesen a dicsőség bőven elég. Csak érdeklődtem.
Tiszteletem jeléül hamarosan küldök egy dalt.
Ma este megyek a hangszeremért.

tomii 2009.02.04. 10:51:41

Nocsak! Hát itt mindenki zenész?
Várjuk azt a dalt!

F.Egon · http://kozossegek.inda.hu 2009.02.07. 22:43:29

Ma elkészült az igért dal,amiből végül egy kis összeállítás kerekedett ki.

www.youtube.com/watch?v=jg7GsXXimTQ

tomii 2009.02.08. 13:52:05

NAGYON SZÉPEN KÖSZÖNJÜK!!!